Enviado por: Álvaro Serrano Duarte - Director-Fundador de CORREveDILE.com (año 2004) - Barranquilla, Colombia
Autor: Luis Eduardo Zamudio Suárez - Licenciado en Matemáticas - Caracas, Venezuela
Entre todas las ideas creadas o descubiertas por el hombre a lo largo de la historia del pensamiento, la noción de Infinito sin duda es una de las más enigmáticas. Los intelectos más lúcidos de la filosofía, la teología y la matemática han aportado distintas interpretaciones de la infinitud, una idea rodeada —como veremos— de misticismo y locura a través de los siglos.
A continuación se presenta un simplificado recuento histórico de la noción de Infinito en su versión más rigurosa —a mi juicio—, el Infinito Matemático.
Posteriormente se establecerá la hipótesis de que el infinito categórico —también llamado infinito actual— se corresponde con una realidad ontológica que involucra el Ser del hombre y su relación con la Divinidad. Tal hipótesis permitirá expresar una posible respuesta al cuestionamiento aristotélico sobre la función última del Hombre.
Breve recuento histórico
Los orígenes de la noción de Infinito en matemática se remontan hasta Pitágoras (aprox. 569 – 500 A.C.). Como es sabido, los pitagóricos practicaban filosofía, misticismo y matemática, tres áreas que para ellos estaban inextricablemente relacionadas, mientras sostenían la firme convicción de que todo conocimiento matemático revela un invisible ángulo de la Realidad.
Entre otras creencias defendidas por los pitagóricos sobre los significados de cada número particular destaca la función que para ellos jugaba el número uno como generador inductivo de todo el sistema numérico, lo cual permite deducir que tenían idea clara del llamado infinito potencial: dado cualquier número, por más grande que sea, siempre podemos obtener un número mayor simplemente sumándole la unidad.
Aproximadamente un siglo después Zenón de Elea (495 – 435 A.C.) promulgó las paradojas que lo han inmortalizado. En ellas trató de probar la imposibilidad del movimiento partiendo de la premisa de un espacio infinitamente divisible.
Cabe señalar que dichas paradojas pueden ser tratadas de forma natural (desde la formalización del concepto de límite) a través de la idea de convergencia de una serie infinita. Aquí también es la noción de infinito potencial la que juega el rol protagónico en contraposición al infinito actual, el cual tradicionalmente fue rechazado por matemáticos y filósofos hasta finales del siglo XIX de nuestra era.
De hecho, la tradición matemática siempre había utilizado el infinito potencial en la forma que inauguraron Eudoxio (408 – 355 A.C.) y Arquímedes (287 – 212 A.C.), quienes para el cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas aplicaban el carácter potencial del infinito, ya no sólo para manipular cantidades arbitrariamente grandes, sino también en la consideración de cantidades extremadamente pequeñas, aquellas que aún siendo positivas pueden hacerse tender a cero en el límite.
Con el propósito de enfatizar la distinción fundamental entre los infinitospotencial y actual, así como la percepción que tenía la tradición matemática respecto a lo inadecuado de éste último, veamos un pequeño fragmento de una carta que escribiera nada menos que el usualmente considerado matemático más grande de la historia, Carl F. Gauss (1777 – 1855), a su colega Heinrich Schumacher:
- But concerning your proof, I protest above all against the use of an infinite quantity [Gröse] as a completed one, which in mathematics is never allowed. The infinite is only a façon de parler, in which one properly speaks of limits. Citado tal cual por Dauben en [5], p. 120.
No obstante, mucho antes de Gauss se dio la primera aparición conocida —aunque tenue— del infinito actual por intermedio de uno de los científicos más completos que registra la historia, Galileo Galilei (1564 – 1642), quien se percató de la existencia de una correspondencia uno-a-uno entre los elementos del conjunto de números naturales {1, 2, 3, etc.} y aquellos llamados cuadrados perfectos {1, 4, 9, 16, 25, etc.}. Tal correspondencia puede ser representada por la función f(n)=n²
De esta manera al número 1 le corresponde el mismo 1, al número 2 le corresponde el 4, al 3 el 9 y así sucesivamente. Quedaba demostrado un hecho en apariencia paradójico: existen tantos cuadrados perfectos (los cuales constituyen un subconjunto propio de los números naturales) como números naturales.
En términos de matemáticas actuales, la correspondencia uno-a-uno usada por Galileo cumple con dos propiedades fundamentales que de hecho sirven para definir e identificar a todas las correspondencias de este tipo, también llamadas funciones biyectivas.
La primera de tales propiedades consiste en que para todo par de elementos n y m del dominio de la función (en el presente ejemplo, para todo par de números naturales) se cumple que: n≠m implica f(n) ≠ f(m)
La segunda propiedad consiste en que todo elemento del conjunto de llegada de la función (que en nuestro ejemplo sería el conjunto de números cuadrados) es “alcanzado” por un elemento del dominio a través de la función. Esto significa en este caso que si m es un número cuadrado, existe un número natural n tal que f(n)=n²=m Aquí es evidente que dado m cuadrado, el número n= √m es el número natural que lo alcanza a través de la función f.
Cuando entre dos conjuntos existe una función biyectiva se dice que ambos tienen la misma cardinalidad, indicando con esto que ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos, como es intuitivo dada la definición de correspondencia uno-a-uno o función biyectiva.
Utilizando este lenguaje, lo que Galileo publicó en 1638 se traduce en la afirmación de que el conjunto de números naturales tiene la misma cardinalidad que un subconjunto propio. En otras palabras, se negaba el principio de que el todo es mayor que sus partes; principio no aplicable en realidad por estar lidiándose con un todo infinito.
Pero quizá, cabe especular, para Galileo ya era suficiente con los problemas que sus teorías cosmológicas le habían acarreado con la Inquisición y finalmente decidió no acometer una investigación más profunda sobre el significado de su hallazgo, significado que inevitablemente lo hubiese llevado a declarar la existencia del infinito actual, una noción que para la época sólo podía ser asociada con la Divinidad.
O tal vez, como lo afirman algunos entendidos, haya sido el poder del Infinito lo que detuvo a Galileo.
Sea como fuera, tan intrascendente fue la primera aparición del infinito actual que un gigante de la filosofía y la matemática, como lo fue Gottfried W. Leibniz (1646 – 1716), escribió menos de un siglo después en sus Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano (obra monumental que prácticamente compendia todo el saber de la época), lo siguiente: Propiamente hablando, es verdad que hay una infinidad de cosas, es decir, que siempre hay más de las que podemos designar.
Pero si se les toma como auténticos todos, entonces no hay número infinito, ni línea ni cualquier otra cantidad que sea infinita, como es fácil demostrar. Las escuelas han querido o debido decir eso, al admitir un infinito sincategoremático[infinito potencial], pero no el infinito categoremático[infinito actual], por decirlo en su lenguaje. En rigor, el verdadero infinito sólo está en lo absoluto, que es anterior a toda composición y no está formado por adición de partes.
Aunque Leibniz en su creación del Cálculo Infinitesimal utilizó ampliamente —al igual que Newton y sus antecesores griegos— el infinito potencial, queda evidenciada su opinión con respecto al infinito actual, opinión que refleja el conocimiento establecido de su tiempo.
Así pues, en matemática no se dio ningún otro acercamiento al concepto de Infinito hasta el siglo XIX, cuando el sacerdote y matemático Bernhard Bolzano (1781 – 1848), influenciado por los trabajos de Eudoxio y Galileo, vislumbró nuevas luces sobre la naturaleza de la infinitud.
Bolzano comenzó por preguntarse si la propiedad aparentemente paradójica que había descubierto Galileo con respecto a conjuntos discretos (tales como el conjunto de números naturales, en donde está determinado cuál es el sucesor de cada elemento) también podía darse en conjuntos continuos sobre la recta real.
Encontró efectivamente que se podía establecer una correspondencia uno-a-uno entre un intervalo de la recta y un subintervalo incluido en el mismo. En este sentido definió la función f(x)=2x, sobre el dominio cerrado [0, 1].
Es claro que dicha función es una biyección o correspondencia uno-a-uno entre su dominio y su conjunto de llegada, el intervalo cerrado [0, 2], que a su vez contiene el dominio [0, 1] como un subconjunto propio.
Surgió así en 1851 la publicación póstuma Paradojas del Infinito donde Bolzano se convertía en el primer matemático en defender la existencia del infinito actual, expresando que éste podía ser introducido en matemática de manera consistente, libre de contradicciones.
El destino se inclinó, sin embargo, a que el infinito actual se mantuviera alejado de la atención de los matemáticos por más de veinte años luego de la publicación de Bolzano, hasta que los trabajos revolucionarios de Georg Cantor (1845 – 1918) comenzaron a transformar casi todas las áreas de la matemática.
Entre sus primeras contribuciones Cantor formalizó la definición de conjunto infinito. Desde entonces se dice que un conjunto X es infinito si y sólo si existe una correspondencia uno-a-uno entre X y algún subconjunto propio S contenido en x(ЅcX). Se trata precisamente de la negación del principio de que el todo es mayor que sus partes, principio válido sólo en conjuntos finitos.
En estos términos, Galileo y Bolzano habían demostrado formalmente que el conjunto de números naturales y el conjunto de números reales contenidos en cualquier intervalo de la recta real son conjuntos infinitos. Pero en 1874, Cantor dio un decisivo paso adicional demostrando lo impensable hasta ese momento: la existencia de varios “tamaños” u órdenes de infinitud.
En una muestra de penetrante lucidez Cantor probó que es imposible establecer una correspondencia uno-a-uno entre el conjunto de números naturales y el conjunto de números reales entre el cero y el uno.
En otras palabras, los números reales de dicho intervalo (y de hecho, de cualquier intervalo) no pueden ser etiquetados en una lista indefinida hasta el infinito de la forma A1, A2, A3,... Por lo tanto, la cardinalidad del continuum, la cantidad de puntos en cualquier segmento de recta real, es superior a la cantidad infinita de números naturales.
Este descubrimiento inevitablemente desencadenó consecuencias incluso más allá del territorio propiamente matemático, mientras Cantor acometía la defensa del infinito categórico (o actual) más grande que se haya dado en la historia del pensamiento occidental.
Al menos en el contexto matemático, la existencia de una entidad puede ser argumentada por su consistencia con el resto de las ideas y construcciones matemáticas ya establecidas. En este sentido, para Cantor era perfectamente consistente que el proceso de “contar” elementos de conjuntos finitos fuese extendido a elementos de conjuntos infinitos, como entidades completas y acabadas, a través de funciones biyectivas.
Por ejemplo, el conjunto A = {w, x, y, z} de objetos cualesquiera (sean libros, casas, animales o lo que sea) diferentes entre sí, se puede considerar como una entidad total cuyo número cardinal es el número cuatro, ya que existe una correspondencia uno-a-uno entre el conjunto A y el subconjunto de números naturales {1, 2, 3, 4}.
De la misma manera, el conjunto de números cuadrados perfectos {1, 4, 9, 16 ,... n², ...), verbigracia de conjunto infinito, se puede considerar como una totalidad cuyo número cardinal es superior a cualquier número finito.
Así pues, Cantor denotó con un aleph (primera letra del alfabeto hebreo) y un subíndice igual a cero al número cardinaltransfinitoN0 de todos los conjuntos equivalentes en cantidad (susceptibles de biyectar) al conjunto de números naturales.
En este orden de ideas, el descubrimiento de Cantor de que la cardinalidad del conjunto de números reales (el continuum) es mayor a la de los números naturales implica la existencia de otro número cardinal transfinito, digamos N1, superior a N0.
Pero, ¿cuál fue la reacción de la comunidad matemática a estos descubrimientos?
En principio, como muchos otros hallazgos que afectan los paradigmas establecidos, Cantor enfrentó una fuerte y persistente oposición, por un lado, y disfrutó de unos pocos partidarios, por otro. Sabiendo que la oposición a su trabajo provenía de distintos frentes, comenzó por determinar cuáles habían sido históricamente los argumentos en contra del infinito actual y se dispuso a refutarlos uno por uno armado con su nueva teoría de números transfinitos.
En particular, criticó el clásico argumento aristotélico que consistía en usar principios de aritmética para contradecir la existencia del infinito actual. Frente a esto Cantor estableció que para razonar el infinito matemáticamente había que crear una aritmética especial que él mismo se encargó de fundar.
Años de intensa investigación por parte de los mejores matemáticos del mundo entre finales del siglo XIX y principios del XX, demostraron que las ideas de Cantor se quedarían para siempre en el reino de la matemática.
Mas, según su biógrafo Joseph Dauben, la profunda motivación que impregnaba el alma de Cantor, y que lo impulsaba a defender sus teorías en cualquier terreno mostrando una férrea convicción, era en gran parte religiosa:
Cantor not only found encouragement and support from his faith in God, but he also believed that he was destined to put that knowledge into service for the greater understanding of God and nature.
![[5], p. 232]( "[5], p. 232")
Pero estas son ideas que ya rozan a la hipótesis ontológica que a continuación se presenta.
Hipótesis Ontológica
Aceptada la existencia del infinito actual en matemáticas, en primer lugar, cabe preguntarse ¿a qué se corresponde en el mundo físico tan enigmática idea?, ¿acaso el infinito categórico es representación de algo en el mundo material?
Los físicos y astrónomos han determinado que vivimos en un universo curvo en permanente expansión desde el Big Bang.
Además, se tienen fuertes indicios de que el universo es finito, aunque no hay certeza absoluta al respecto. Por otro lado, nuevas teorías tienden a establecer un atomismo no sólo en el espacio sino también en el tiempo,
lo que implicaría la imposibilidad de dividir infinitamente cualquier fragmento de materia o tiempo.
En efecto, la infinitud en el mundo físico sólo se ha hecho presente en la densidad infinita que se supone existió en aquel punto originario de donde surgió el Big Bang. Más allá de ese momento primigenio, no hay evidencias de que en el universo existan entidades que se correspondan con el infinito matemático.
No obstante, la matemática y la Realidad —que incluye evidentemente algo más que el mundo material— han mostrado a lo largo de los siglos una inextricable relación. Es perfectamente factible que la realidad que se corresponde con el infinito matemático se encuentre más allá del mundo físico, en un eslabón superior de la cadena ontológica, cadena planteada por diversos filósofos y que para los propósitos actuales basta con su imagen:
Según el matemático, físico y astrónomo Sir James Jeans (1877 – 1946), la Realidad es intrínsecamente matemática en un sentido mucho más profundo al que señaló Galileo cuando afirmó que el libro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático.
Simplificando la manera tradicional de hacer física, ésta consiste en observar el mundo material, modelarlo a través de ecuaciones y posteriormente verificar empíricamente las predicciones realizadas por intermedio de los modelos matemáticos.
En este sentido, las fórmulas matemáticas describen la realidad, entre otras razones porque son creadas a posteriori, conjuntamente con referentes empíricos.
Sin embargo, para alcanzar el sentido más profundo que propone Jeans, hay que percatarse de que la matemática que utilizó Einstein en el desarrollo de la relatividad general a principios del siglo XX, fueron creadas independientemente de cualquier observación empírica.
En efecto, fueron teorías de matemática pura (como por ejemplo las geometrías no-euclidianas) inventadas por el pensamiento abstracto varias décadas antes de que se sospechara siquiera que pudieran tener alguna aplicación al mundo físico.
Para Jeans, el tremendo éxito manifestado en las aplicaciones de estas teorías es prueba de que la Realidad tiene una estructura matemática inherente.
Sería la única explicación de que se hayan podido comprobar numerosas predicciones calculadas por intermedio de teorías matemáticas creadas independientemente a todo empirismo, con anterioridad a toda observación del mundo exterior.
Ahora bien, dada la existencia en matemáticas del infinito actual y considerando la argumentación anterior, si en el mundo físico no hay indicios del Infinito, ¿no es natural suponer que su existencia matemática se corresponde con una realidad más allá de lo físico?
Sería una idea que no se precipita a los recintos de la materia, sino más bien trasciende ésta ya que su ser pertenece a eslabones ontológicos superiores.
Esta es precisamente la hipótesis que se quería expresar: el infinito actual en su forma matemática se corresponde con una realidad ontológica que involucra el Ser del hombre y su relación con la Divinidad.
Ya veremos en qué se basa esto, pero por ahora, nótese que podríamos estar en presencia de una noción matemática que representa realidades únicamente tratadas por metafísicos, teólogos y hasta místicos.
Mas, ¿en qué consiste dicha realidad ontológica?
Hay diversas interpretaciones posibles, todas estrechamente vinculadas. Comenzando con la metafísica leibniziana, tenemos que para Leibniz todas las substancias simples, llamadas mónadas, se relacionan entre sí, y a su vez cada una con el universo circundante.
Estas relaciones son de tal índole que un intelecto infinito podría conocer todo el universo a partir de la investigación de una sola mónada, ya que ésta es una imagen o espejo que refleja todo el universo.
Ahora bien, este enlace o acomodamiento de todas las cosas creadas a cada una y de cada una a todas las demás, hace que cada substancia simple tenga relaciones que expresan todas las demás, y que por consiguiente sea un espejo vivo y perpetuo del universo.
...Y el autor de la naturaleza ha podido practicar este artificio divino e infinitamente maravilloso, por que cada porción de la materia no es sólo infinitamente divisible, como lo han reconocido los antiguos, sino también subdividida actualmente al infinito, cada parte en partes, de las que cada una posee algún movimiento propio: de otra manera sería imposible que cada porción de la materia pudiera expresar todo el universo.
Vemos así que Leibniz, aunque en matemática sólo defendió el infinito potencial, creía en la existencia del infinito actual en la naturaleza. De hecho, es el infinito actual lo que hace posible que una esfera limitada por un diámetro finito (sin importar lo pequeño que sea éste) pueda ser biyectada de forma continua a todo el infinito espacio tridimensional,
tal y como describe Borges en su extraordinario cuento El Aleph.
Recordando el epígrafe al presente ensayo, el Aleph es una pequeña esfera limitada por un diámetro de dos o tres centímetros que, sin embargo, contiene a todo el universo. Evidencia indubitable del Infinito: aunque limitada por su diámetro, la esfera contiene tantos puntos como el espacio infinito que a su vez contiene a la esfera.
Pero Leibniz no se limita a hablar de la materia. Más aún, afirma que cada mónada representa a todo el universo desde su punto de vista, algo que sólo puede ser entendido a través del infinito actual, esta vez operando en un espacio ontológico, lo cual no puede ser una sorpresa dado que —como afirma Heinz Heimsoeth— Leibniz“está convencido metafísicamente de la existencia del infinito actual en el mundo”.
Asimismo, Leibniz establece una reveladora diferencia entre las almas simples y las racionales: Por lo que respecta al alma racional o al espíritu, hay algo más en ella de lo que se encuentra en las mónadas o incluso en las simples almas. No es únicamente un espejo del universo de las criaturas sino también una imagen de la Divinidad...
Esta última afirmación nos permite acercarnos a otra interpretación posible de esa realidad ontológica que nuestra hipótesis afirma es representada por el infinito actual. Los idealistas románticos, quienes promulgaron la existencia del Yo infinito o la Autoconciencia absoluta, manifestaron adherencia a la posibilidad de identificación de la conciencia limitada (humana) con la Conciencia Infinita (Divina).
No obstante, estas ideas no son del todo originales de los idealistas románticos. Al menos tienen sus raíces en los filósofos neoplatónicos, especialmente en Plotino (204 – 270 D. C.) y sus descripciones de la experiencia del éxtasis.
Para Plotino el éxtasis es la abolición de la alteridad entre el que ve y la cosa vista y la identificación total y entusiasta del alma humana con Dios.
¿Acaso una biyección metafísica? Wittgenstein diría que al respecto sólo podemos y debemos callar. Pero de cualquier forma, el éxtasis de Plotino solamente puede propiciarse partiendo del principio de que el espíritu humano posee potencialidades infinitas propias de la Divinidad, a pesar de estar limitado por la materia, e incluso posiblemente por el intelecto, cual esfera limitada por su diámetro.
Ahora, tal premisa o creencia se encuentra también en diversas tradiciones orientales como el hinduismo o el budismo. Según Borges, para estas religiones, así como para el resto de religiones y filosofías del Indostán, la doctrina del Vedanta es pilar fundamental.
El erudito escritor la comprime de la siguiente manera:
- La doctrina del Vedanta se resume en dos afamadas sentencias: Tat twuam asi (Eso eres tú) y Aham brahmasmi (Soy Brahman). Ambas afirman la identidad de Dios y del alma, de uno y el universo. Esto quiere decir que el eterno principio de todo ser, que proyecta y disipa mundos, está en cada uno de nosotros pleno e indivisible.
Así pues, tenemos la potestad de escoger entre la metafísica leibniziana, el idealismo romántico o el misticismo de corte neoplatónico u oriental. Lo que aquí se afirma es que el infinito matemático actual es metáfora de una realidad transmitida desde tiempos ancestrales por filósofos y místicos, tanto en occidente como en oriente: la substancia del espíritu humano es la misma, en toda su actual infinitud, que la substancia de la Divinidad.
¿Y qué otra imagen más allá del infinito matemático podría hacer comprensible que seres indudablemente limitados sean infinitos en esencia?
Tomar conciencia de que con todas nuestras limitaciones somos substancialmente infinitos abriría una brecha para responder al cuestionamiento aristotélico: la función de todo hombre no puede ser otra que descubrir su infinito interior y biyectarse —como diría un pitagórico— con la substancia infinita que es “el eterno principio de todo ser”.
Porque como dice Heimsoeth parafraseando al Doctor Sutilísimo: “El fin para el cual Dios nos ha creado se halla de este modo en concordancia con nuestras facultades”.
Emerge así la terrible interrogante para todo occidental: ¿será el intelecto una de tales facultades en concordancia con el fin último de todo hombre?, o acaso, ¿será el sendero hacia el alma inexpugnable por las armas de la razón?
La consecución del fin del hombre en Occidente
En 1884, en medio de sus investigaciones sobre la hipótesis del continuo, —problema imposible de resolver como se demostró años después— Cantor sufrió su primer “mental breakdown” —como lo llaman sus biógrafos—.
En razón de ello se lo mantuvo dos meses recluido en un centro de recuperación sicológica. No se tiene certeza sobre las causas de su crisis, aunque comúnmente se especula sobre una posible combinación de tendencia genética, extrema dificultad y frustración enfrentando la hipótesis del continuo y una prolongada oposición a sus ideas por parte de uno de sus ex – profesores más notables.
Sea cual sea la verdadera combinación de causas, al matemático y escritor Amir Aczel le resultó inevitable imaginar que Cantor experimentó las consecuencias de haber pretendido asir un conocimiento inescrutable.
- Trying to understand the real meaning of the various levels of infinity—trying to dissect the unreachable infinite and probe its innermost parts—may have cost him his sanity.
Efectivamente, conforme iba padeciendo numerosas crisis y recaídas intermitentes cada vez más prolongadas, Cantor fue deteriorándose mentalmente hasta que abandonó toda investigación matemática. Aparentemente sus pensamientos en los meses finales de su vida giraban en torno a la creencia de que a través de él, Dios había comunicado al mundo buena parte de la esencia del Infinito.
Basándose en la extraña coincidencia de que el sucesor natural de Cantor, el lógico matemático Kurt Gödel (1906 – 1978), al enfrentarse al Infinito años después de su antecesor, también experimentó intermitentes episodios de locura. Aczel concluye que el infinito matemático entraña un misterio que se resiste a ser revelado. Sin embargo, Aczel no ofrece conjeturas sobre significados posibles de tal misterio.
Nuestra hipótesis ontológica intenta buscarle sentido a la enigmática idea de la infinitud, conscientes de que el infinito matemático apenas permite vislumbrar con la luz de la razón una realidad que le compete al espíritu.
La locura de dos grandes indiscutibles de la matemática podría simbolizar los límites de la razón en su búsqueda del Infinito. No obstante, la ciencia occidental —hija legítima de la razón— tiene pendiente descifrar las verdaderas potencialidades de la mente humana.
¿Para qué está allí esa capacidad cerebral que no utilizamos ni siquiera en nuestros momentos de mayor concentración?
A diferencia del devenir propio de Oriente, en Occidente el dominio de la naturaleza, y en general del mundo exterior, ha privado sobre el dominio del sí mismo. Mas, si nos atrevemos a confrontar radicalmente la práctica común de convertir a los simples medios en fines, viviendo muchas veces al borde de la alienación a causa de ello, es probable que, a pesar de haber tomado el camino más largo, nos encontremos ante la noble y fundamental tarea de descubrir el infinito universo que palpita en nuestro interior.
Bibliografía
[1] Abbagnano, N.Diccionario de Filosofía, Fondo de Cultura Económica, México, 1996.
[2] Aczel, Amir D. The Mystery of the Aleph, Washington Square Press, New York, 2000.
[3] Borges, J. L.Discusión, Emecé, Buenos Aires, 1996.
[4] Borges, J. L. y Jurado, A. Qué es el Budismo, Alianza Editorial, Madrid, 2000.
[5] Dauben, Joseph W.Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, New Jersey, 1990.
[6] Hawking, Stephen. El universo en una cáscara de nuez, Planeta, Barcelona, 2003.
[7] Heimsoeth, Heinz. Los seis grandes temas de la metafísica occidental, Revista de Occidente, Madrid, 1960.
[8] Leibniz, G. W.Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano, Alianza Editorial, Madrid, 1992.
[9] Leibniz, G. W.Tres Textos Metafísicos, Grupo Editorial Norma, Santafé de Bogotá, 1992.
[10] Luminet, J., Starkman, G. y Weeks, J. Is Space Finite? Artículo de la Scientific American.com: http://www.sciam.com/article.cfm?articleID=00065A99-90A6-1CD6-B4A8809EC5.... Consultada en enero de 2004.
[11] Smolin, Lee. Atoms of Space and Time, Artículo de la Scientific American.
[12] Struik, Dirk J.A concise history of mathematics, Dover Publications, INC. New York, 1967.
[13] Wilber, Ken (Editor). Cuestiones Cuánticas, Kairós, Barcelona, 1994.
